《理解未来》北大专场:数学大师巅峰对话—数学到底有没有用?

主持人:美国国家科学院院士、北京大学社会研究中心主任谢宇

嘉宾:中科院数学与系统科学研究院研究员、中国数学会秘书长张立群;南方科技大学数学讲座教授副校长汤涛、中国科学院院士田刚、中科院物理所研究员丁洪

氧分子网(www.yangfenzi.com)讯  11月1日,深秋的北大,美丽的未名湖畔,未来论坛第十一期“理解未来”讲座在北京国际数学研究中心开讲。中国科学院院士、美国普林斯顿大学数学系Higgins讲座教授田刚从几何学角度讲述了数学史上最艰难的课题之一——庞加莱猜想的历史、意义和影响。

谢宇:我有幸被邀请做主持,不仅仅因为我是北大的兼职教授,千人计划教授,我最近也加入普林思顿大学的行列,田刚老师也是我的同事。田刚和我在经常来往于中美之间,中国和美国是两个非常重要的国家,实际上两个国家有相似的地方,比如都比较重视教育,国土比较大,眼界比较宽。另外两个国家印的钱比较多,两个国家的钞票有一些特点,都喜欢把政治家面孔展现给大家,我第一次去欧洲,去了法国和德国,那个时候还没有欧元,德国的货币叫马克,10马克的纸币上面印的人就是数学家高斯,我看到这张钱很感动,一个国家把伟大数学家印在10马克上,这样的国家一定是有未来的。美元当中我最喜欢的是100美元,因为上面印的是物理学家富兰克林。

汤涛:我本人对数学推广比较感兴趣,我们办了一个期刊叫《数学文化》,田刚院士给我们写过很好的文章,名字叫“数学非常有用”,我本人做应用数学,对于纯数学理解可能比在座大家强一些。我认为数学是非常有用的,我们今天有互联网,互联网的生命线之一就是依赖快速傅氏变换,傅里叶是著名的法国数学家,当然法国的数学研究水平很高,菲尔兹奖就有11位获得者。如果没有快速傅氏变换即所谓的FFT,今天的手机、互联网和很多高科技都不可能产生,傅里叶也是拿破仑最喜欢 的数学家,几百年之后带给我们最重要的互联网方面的贡献。

张立群:数学是很有用,但数学本身从来不把有用和没用作为衡量标准,数学家凭借自己的想象力和好奇心来发展数学。数学的驱动力有两大方面:一个是自身发展,还有一个就是其他学科的发展。数学本身的发展也会给其他学科带来很多的应用价值。数学家作为一个思考者,他通过自己好奇心来驱动来研究一些很美的学问,这些是不以有用为衡量标准的。在研究庞加莱猜想中,俄罗斯数学家Perelman创造了许多新的数学技术,目前在其他学科领域有很多应用,因此,数学之外的应用也许在几十年甚至几百年之后才会体现。

田刚:数学有没有用?我想这个问题好像也不是中国人特有的问题, 在美国说不定会问的更多一点,数学作为一门比较抽象的学问,确实很多人对它不了解。我认为,数学的用处是它是很多学科背后非常重要的基础性东西,大家直接看不到,所以人们自然会问这样的问题。作为数学家来说,尤其作为我们研究基础数学的数学家来说,我们不太去关心到底有用还是没用这样的问题,更多的是对一 些数学问题有兴趣,而且在研究当中获得乐趣,觉得有成就感,这都是有收获的东西。

丁洪: 数学有没有用,我们物理学家怎么看?物理学有两大重大发现,牛顿发现万有引力,这个过程就需要用到数学,后来他创建了微积分;爱因斯坦的广义相对论是用黎曼几何来做的。我现在研究的外尔费米子也是跟数学非常有关,跟拓扑学非常有关。拓扑绝缘体的研究就用到很多拓扑学的知识,上世纪80、90年代之后,物理学界的人意识到很多拓扑数学里面原理是可以运用到材料学中间,最后确实证明非常有用。反过来说数学之美,我们应该说任何的数学研究,任何数学的成就,都是 有用的,为什么?宇宙如此大,一定能在某些领域实现数学上面一些成就和数学上一些可能性,我们从一开始就应该不怀疑数学有用,也就是说我们一开始也不应该怀疑人类知识的有用性,因为这些目前看来是没用的,最后发现在宇宙中都会有实现的可能。

听众:我是学化学的,经常被别人问到你的课题有什么意义,我通常会觉得不好意思因为我也不知道它有什么意义。对于基础学科来讲,国家在这上面应该投入多大的金钱和精力支持是比较合适的?毕竟它的回报周期是极其漫长的。

谢宇: 从历史上看,科学的演变是不一样的,过去的科学应用性特别强,科学来源最早是很抽样的,古代做科学研究都是自己花钱,没有国家资助,这是历史角度来说。另外,基础科学的发现有一个特点,它是一个公共产物,你的研究或者发现发表了之后,大家都知道了,第一个发现很重要,第二个发现没有意义,因为人家已经发现了。

一个人在有了新发现并公布之后,所有人都可以学,学是容易的,发现是难的。知识是要共享的,人类也要共享科学成果,否则科学没有发展。因此,科学的进步就是这样一步一步来的,所有发现都要有基础,牛顿也曾经说他是站在巨人肩膀上,没有前人的贡献你不可能发现。不同的国家、不同的民族、不同的性别,不同的年龄,不同的宗教,什么人可以,只要对科学有贡献,他的发现就是基础科学一部分。从这一点来说科学成就就应该共享,并不是你独有的。基础科学是一个共享知识库,对全人类都用。而当一个国家有实力、有基础的时候,我们应该承担为世界文明作贡献的责任。法国也好、俄国也好、德国也好,都对基础科学做了很大的贡献,中国现在是世界第二大经济强国,中国的科技论文的数量是世界上第二,但是对基础科学贡献却不多,这个问题值得思考。

听众:在自己的研究领域越钻越深,数学家是否会越来越孤独?有些数学难题的验证比如庞加莱猜想需要很长时间,甚至跨越一个时代,这是否意味着数学家在一个时代都可能非常孤独,各自在各自领域深钻,像蚂蚁一样看不到对方?

张立群: 任何一个高端学问的研究做到最后都会感觉孤独,因为你找不到竞争者。一个优秀登山者,他登山的过程也是很孤独的。数学家的研究有时候像登山一样,大部分时间是自己在孤独的做。有一位数学家说过,数学家一生大部分在失败中度过的,但是因为他对数学有自己的喜好,当研究出来使他感到自豪、感到美的东西,他就会得到一些安慰。

田刚: 对数学家来说确实有一些孤独,但我觉得稍微孤独一点没关系,稍微孤独反而有更多时间做自己的事。自己的研究成果出来一时或许不被人接受,也没关系,这要看你对生活的态度,你坚信自己的东西是对的,迟早就会被人接受。这可能有一段时间,这段时间可以去好一点的餐馆或者去博物馆、听听音乐,并不影响你的生活。

听众:我是学物理的,现在做科学传播行业,发现学科之间有鄙视链,学物理鄙视学化学的,学化学鄙视学生物的,数学不在其中之列,数学就是神,学数学和学其他学科的人在智力上是不是不同?

张立群:我个人觉得没有,只是大家兴趣爱好不同而已。我的数学老师曾经跟我说,学数学不需要聪明,需要有耐心。

田刚:不论是研究物理、化学、生物学的人,都有各自的兴趣和长处。我在做数学上可能比更多人要好,至少比做生物和物理的人有长处,但仅此而已。

汤涛:人有不同的分类,有的在语言方面有一定的优势,有的抽象能力比较强,有的动手能力比较强,有的组织能力比较强。如果学数学招研究生的话我还是要做很多的测验,希望这个人会下棋和打牌,这体现一个人逻辑能力。

谢宇: 今天我们是理解未来的论坛,未来就是一个时间性,就是将来。今年是2015年,2000年的时候《时代周刊》做了一个评估,说过去100年当中最伟大的人物,这个人物不是一个政治家,而是一个科学家,就是爱因斯坦,爱因斯坦被评为世纪人物。讲到爱因斯坦就讲到政治和科学之间的关系,二战世界大战以后以色列 提名爱因斯坦做总统,他还是有一点动心的,他最后拒绝了总统,他留下了一句话,我想把这个话献给大家,他说“政治是暂时的,而方程是永久的”。

注:这是“未来论坛”组织的第十一期“理解未来”讲座,往期讲座视频可以在网易公开课或者爱奇艺查看。

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1 Response

  1. 吴文俊先生为什么说“数学是笨人学的”?说道:

    撰文 | 曹志刚 (中国科学院数学与系统科学研究院)
    责编 | 徐可

    引子

    刚刚仙逝的数学大师吴文俊先生近些年接受媒体采访时经常说这样一句话,“数学是笨人学的”。这让很多人大惑不解。明明只有聪明人才学得来数学嘛,数学好基本上就是脑袋瓜聪明的同义词,笨人怎么学数学呢?

    君不见各种智力测试不都是数学题吗?很多学校竞争优质生源以及分快慢班不也经常只看数学水平吗?千里挑一的公务员考试每年也都有几道数列题,这跟行政能力其实没有任何的直接关系。这几道经常被大家评论为挺变态的数学题也就是个智力测试。

    更何况,吴文俊先生所谓的“学习”,可不是我们中文语境中一般意义上的学习,他说的是英文词“study”,不是我们所讲的研究性学习,而是实实在在的研究。这就更让人没法理解了。因为家喻户晓众所周知,能从事数学研究以至于有所成就的家伙,哪个不是思维超群有相当天分的?什么英年早逝的伽罗瓦、阿贝尔,直觉惊人的拉马努金,失明后依然能做学问的欧拉、庞特里亚金,一辈子靠妈妈照顾的厄多仕、佩雷尔曼,哪个不是有相当的传奇色彩甚至有点不食人间烟火?普通人哪做得了数学?更别提笨人了。这些事实和故事,做出过世界一流成果、晚年又潜心研究数学史的吴先生比我们不知要谙熟多少倍。

    那他怎么又会说出“数学是笨人学的”这样的话呢?吴先生本人没有对这句话做过过多的解释,至少媒体上找不到。本文中笔者尝试解读一下这句颇令人费解的话,并探讨一下其背后的逻辑对于整体把握中学数学中常用的几种思想方法,包括分类讨论法、数学归纳法、反证法、分析法、综合法,有何启发。我们还将顺便涉及这个视角下数学直觉与思维定势的关系,以及什么是好的解题方法的判别标准问题。

    其实我们都很笨

    对于理解充满神奇的大自然、纷繁芜杂的社会、浩瀚无穷的宇宙,甚至我们幽暗深邃的内心,人类的思维能力实在太有限了。素数,多么朴素简单的东西,人类研究了几千年至今还有数不清的难题等待解决;初等几何,初中生就学的东西,任何数学家也不敢说随便拿出来一道棘手的问题都能很快解决;前几年不是有新闻说记者给某位菲尔兹奖获得者一道我们的小学奥数题,他做了十几分钟也没头绪吗?前沿的计算复杂性理论暗示了有些知识人类可能永远无法获知。这不是简单的哲学上的悲观不可知论,而是来源于扎扎实实的硬证据。

    所以有句俗语说得好,“人类一思考上帝就发笑”。但无所不知的上帝因此也无法像我们人类一样欣赏这个神奇的世界。

    笨人的思考方法

    承认我们笨、承认我们思考能力有限绝不等于自暴自弃放弃思考,越是这样越需要努力啊。人类之所以能进化到今天,能比其它物种都更适应环境更多地掌控自己的生活和命运,主要靠的就是不断思考不断创造新工具。那么笨人面对一个复杂的问题如何思考解决之道呢?那就要采取非常务实而积极的态度和策略。

    1.适当放弃精确和严密

    因为我们能力实在有限,所以过于追求绝对的精确和严密,很可能一无所获无法取得任何进步。

    分类是人类认知的一个最核心最基本的途径之一。简单来讲,这种途径就是将差不多的东西看做一类,而同一类的东西思考和处理的时候不做区别。当遇到一个新鲜事物的时候,先尝试将其归入已有类别,若发现无法归类则建立新的类别。这样做的好处是非常利于记忆和思考。当然,这要以损失精确和严密为代价。分类这种思维方式如此之基本以至于已经成为人类本能的一部分。它所涵盖的范围以及对我们生活影响之深刻可能会让我们多数人非常吃惊。

    姑且不提分类是很多学科的基本研究范式,单举几个我们日常生活中的小例子:为什么我们天生对软软的蠕动的东西有恐惧感?因为我们会把这类东西跟蛇联系在一起(即便从来没有见过甚至听说过蛇)。本能决定了我们在做出任何精确判断(是蛇还不是蛇)以前就做出反应(把它归入蛇的一类并迅速离开),这已经写入了我们的基因;为什么我们对图片和视频会有喜怒哀乐以及恐惧的反应,明明知道它们是虚假的?因为我们的本能无法区分这种虚假和现实;为什么我们会觉得外国人都长得差不多而区分中国人则容易得多?因为我们对经常打交道的自己人的分类要比对不经常打交道的外国人的分类细致得多……

    当然,放弃精确和严密所意味的绝不仅仅是分类。比如跟分类密切相关的归纳(注意不是数学归纳)也是这个逻辑的产物。见了那么多天鹅发现都是白色的,那么就假设天鹅都是白的好了。这样假设有没有问题?严格来讲当然有问题,谁能保证你碰到的下一只天鹅不是黑色的?事实上,黑天鹅的确存在。可是在没有遇到黑天鹅之前暂时接受这个结论是很务实的选择,因为这样总算对世界有一些认识(尽管这个认识不见得精确)。而且,即便以后发现了黑天鹅,我们也可以把结论修正为“绝大多数天鹅是白色的,少数天鹅是黑色的”。原来的结论尽管错了,但是错得并不离谱。甚至在我们知道了黑天鹅存在的情况下,某些时候依然假设所有天鹅都是白色的,这样处理起问题来可能比“99%的天鹅是白色的,剩下1%是黑色的”这个绝对的真理更方便。正像我们经常说地球是圆的,学习甚至研究中经常假设地球是完美球体一样。这要比“赤道略鼓、两极稍扁”省事多了。何况后者也还只是个近似。

    这种思维跟数学乍一看似乎是毫不相干甚至矛盾的。其实不然。一方面,数学本身就是一个高度抽象的模型,数学尤其是数学模型,本身就是对现实世界的近似,就是1、2、3这些最朴素的自然数也无不如此。3个人分6个苹果,如何分最公平啊?小学生就开始学,6除以3等于2,每人两个最公平。可是这样没考虑苹果的大小啊?您可能会说,我们假设6个苹果是一模一样大的。可天底下哪有绝对一模一样的6个苹果啊?我们这样假设就是一种近似。另一方面,放弃精确和严密而只求一个粗略的估计,这本身也是一种重要的数学能力。

    直觉是数学学习和研究中非常重要的一种跟逻辑无关的能力。见了一个题目就知道大概用什么方法,见了一个问题就知道其大概的难度,这是区分数学家水平高低的很好指标。数学教育中以此标准也能一定程度上用来衡量学生。

    数学直觉靠的是经验积累加悟性,它当然并不总是对的。经常出错的或坏的数学直觉我们称之为“思维定势”,这是我们要尽量避免的东西。我们教学中经常提要避免思维定势,但很少提培养好的数学直觉。这是一个事物的两个方面。只强调一方面而忽略另外一方面显然是不合适的。

    2.化整为零各个击破

    因为我们能力实在有限,所以不要幻想一下子解决整个问题。如果能把大问题拆成小问题,我们今天解决一个,明天解决一个,问题最终不就完整解决了吗?何况,化整为零还有一个很大的好处就是大家可以分工协作。你解决这个,我解决那个,最终问题也能得到完满解决。历史上的数学研究经常是单打独斗,绝大多数重要成果都是一个人做出来的。现在时代不同了,数学家也越来越强调合作,因为大家越来越意识到个人能力的有限。比如有限单群的分类问题,是几百个数学家辛苦合作几十年才完全研究清楚的;当今的领袖数学家Tim Gowers和陶哲轩发起了Polymath Project的项目,号召大家一起攻克一些困难无比的问题(他们最新近的成果包括大大改进了张益唐在孪生素数猜想方面得到的下界)。

    化整为零各个击破的策略对中学数学教育有何意义呢?老师们可能会说,这不就是我们常用的分情况讨论嘛!所以没有什么好神秘的。但是大家千万不要小瞧这个看起来似乎不值得一提的策略。它的确是我们攻克复杂问题的一大法宝。组合优化领域甚至专门为这个方法起了一个新名字,叫“分而治之”(divide and conquer)。

    数学家做研究惯用的一个“伎俩”就是“加条件”。实在证明不过去了,怎么办呀?只好加条件了。如果加一个比较干净的条件以后发现结论能成立,也还不错。稍微想想你就明白了,所谓加条件就是分情况讨论。而分情况讨论这个方法之所以有效,也是因为我们处理每一种情况的时候实际上比研究整个问题时多了一个条件。

    3.立足已知探索未知

    因为我们能力实在有限,所以用全新的方法去思考一个跟已有知识体系没有任何联系的问题可能毫无所获。所以一方面,我们要牢牢把握住已经知道的,尝试将未知的问题划归成一个我们熟悉的场景。这是科学研究的基本方法,也是数学教学中常用的一种范式。解题如此,讲课也是如此。另一方面,我们要充分挖掘已知知识的内在逻辑,看看从已知我们还能推导出其它什么有趣、但暂时不见得有用的新知识。我们今天的数学知识体系,部分内容直接来自现实和实践的驱动,即问题驱动;更多高深的内容则来自数学体系内在的驱动,即理论驱动,说白了就是数学家兴趣的推动。比如“P 与 NP 猜想”,跟现实究竟有什么联系?证明出来有什么用?老实说,短期来看可能真没什么用。

    立足已知探索未知,从两个方向在已知与未知之间建立桥梁。这跟我们数学教学又有什么关系呢?关系大了。我们解题不是经常用两种思路吗,即综合法和分析法。所谓综合法,就是从条件到结论的思维和写作方式。给了我们这样几个条件,从它们出发,朝着结论的方向我们一步步推导,然后顺利到达终点。这就是综合法;如果方向是从结论到条件,则称之为分析法。我们首先盯住这个结论,问想要得到这个结论需要知道什么条件呢?为了得到那个条件我们又需要证明什么呢?这样一步步推导,顺利到达已知的条件,整个证明就结束了。当然,很多时候这两种方法交叉使用。就写作而言,分析法和综合法各有利弊,分析法更容易让人把握住思路,但是可能不够简洁漂亮。综合法的写作则相反,经常让人赞叹证明的优美,感慨作者的奇思妙想,但是通常很难把握其思路。这两种写作方法的典型代表分别是欧拉和高斯。

    回到本文主题,分析法和综合法这两个名词的存在同样是基于我们能力有限的事实。如果我们绝顶聪明一眼就能看出条件与结论之间的关系,也就无所谓从哪里到哪里的方向问题了。

    前面我们提到,分情况讨论本质上就是加条件扩大已知。所以笨人解决问题的一个思路就是,既然我笨,就想办法造一些条件,那样我思考问题不就便利多了吗?我们可以在这个视角下重新审视一下反证法和数学归纳法。反证法为什么经常有效?就是因为我们把结论的否命题拿来当条件,这样手头就增加了一个条件,前进起来当然便利多了。科学研究中还有一些更精细的反证法,比如特殊反例法,就是说如果结论不成立那么我能找到一个反例,除此以外这个反例还满足一定的条件(比如所有反例中规模最小的),那条件不是更多了吗?

    数学归纳法则是更加巧妙地不断扩大已知最终到达未知的方法。要求证明某个结论对于任意的n都成立。问题太难了,丝毫没有头绪,怎么办?先试试n=1吧。稍微一验证,嗯,对了。再来看看n=2吧。嗯,也对了。可这什么时候是个头啊?验算到100我们能止步吗?不行,万一101出问题怎么办?我们不能满足于普通的归纳法。问题的难点在于,这表面上看起来是一个命题,而其实背后是无穷多个命题。无穷是数学里面的魔鬼,经常暗含很多奇特而艰深的东西。特别地,我们最笨的枚举法不能生效。数学归纳法的巧妙之处就在于,不是孤立地去验证一个一个的例子,而是在这些例子间建立一个链式反应,证明只要前者成立紧随其后的例子也成立。那么只要给一个初始引爆点,这一逻辑反复使用就会达到多米诺骨牌或者原子弹爆炸的效果,最终证明无穷多个命题。数学归纳法之所以能够成功,不也是巧妙加了一个条件吗?我们原来面对的问题是证明结论对于n成立。而现在面对的问题则是在n-1成立的基础上来证明n成立。除了普通的数学归纳法以外,还有各式各样的变形。从增加条件的视角来看,这些方法背后的核心逻辑都是一致的。

    我们再来看一下吴文俊先生“数学是笨人学的”的观点对于我们探讨解题方法好坏的判别标准问题的启发。用多种方法和思路解决同一题目是我们常用的教学方法。眼花缭乱的方法中哪种是最好的呢?这或许是个见仁见智没有标准答案的问题。很多人的观点可能是最巧妙的方法是最好的。其实并不见得如此。因为巧妙的方法适用范围通常都很窄,而表面上看起来很笨重的办法适用面则可能很广,往往可以直达问题本质所以威力巨大(比如说三角函数里面的万能公式)。功利一点来看,即便对于学生考试,巧妙的方法也不见得永远值得推荐。道理很简单,考试的有限时间里不见得能一下子想起那巧妙的方法,有时候反而是最普通的最笨的方法最有效。

    做数学研究也有类似的道理,只有脚踏实地不投机取巧才能真正成就一番事业。华罗庚先生的成名作《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》,不就是老老实实计算一个十二阶行列式吗?陈景润证明“哥德巴赫猜想”的1+2也没有引入多少天才的想法,就是扎扎实实用好了筛法。最新近的传奇数学家张益唐,能成功的原因之一也是老老实实去推导和计算一些基本公式,而不是讨巧直接使用已知公式。有了这些道理和例子,我们或许就能真正明白为什么吴文俊先生会说出“数学是笨人学的”这样一番话。

    认清自己,承认我们都很笨;认清现实,知道问题很复杂;绝不气馁绝不讨巧,踏踏实实一步一步往前走。这种积极而务实的态度或许就是吴文俊先生想告诉我们的做学问的道理,同时也是做人的道理。历史上聪明绝伦有天赋的人多了去了,但是最终能有所成就为人类进步事业做出贡献的只是极少数。这极少数人通常都有一个共同点,那就是积极而务实,既不自暴自弃也不好高骛远。

    “数学是笨人学的”这一积极而务实的态度不仅对于数学教学有重要启发,使我们对一些经常使用的方法和技巧进行重新审视、在整体上进行把握;它对于德育工作也很有启迪。比如说我们经常讲赏识教育。其实不分缘由不讲方法的一味赏识和夸奖并不见得有益。夸奖什么以及如何夸奖,这是需要我们好好琢磨的。据笔者所知一些好的经验是这样的:尽量少夸奖一个孩子聪明甚至有天赋,而多夸奖他的尝试、付出和努力过程。在我看来,这个精神跟吴文俊先生告诉我们的道理有内在的一致性。

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