终年32岁的印度传奇数学家拉马努金让硅谷领袖们集体落泪致敬

2016年4月,著名投资人尤里·米尔纳在自己家中举行了一场小规模的晚宴,到场嘉宾包括Google CEO皮查伊、Google创始人布林、Facebook创始人兼CEO扎克伯格及其他数十位硅谷领袖。晚宴上,米尔纳放映了一部导演马修·布朗最新拍摄的传记体电影——《知无涯者》。影片讲述了印度传奇数学家拉马努金的一生。

《知无涯者》电影海报

《知无涯者》电影海报

据报道,宴会结束后,扎克伯格等人是红着眼眶走出来的。他们当即宣布将联手成立一项新基金,以致敬及纪念拉马努金。

为拉马努金感动流泪的扎克伯格

为拉马努金感动流泪的扎克伯格

拉马努金是何方神圣?又为何能让一众硅谷大佬潸然泪下?

这些定理一定是成立的,因为没有哪个人类的想象力可以强大到凭空把它们造出来。

1913年1月31日,英国剑桥大学36岁的著名数学家G·H·哈代收到了一摞从印度寄来的手稿,并附介绍函一封:

尊敬的先生,谨自我介绍如下:

我是马德拉斯港务信托处的一名会计师,年薪不过20英镑……我在发散级数理论上取得了一些惊人的进展,破解了由来已久的素数分布问题……如果您认为我的定理有价值,我会将它们发表……我只是个无名小卒,您提出的任何建议都将为我所珍视。

冒昧打扰,还望见谅。

S·拉马努金敬启。

哈代第一反应认为这是封诈骗邮件。他放下信,随手翻了翻那叠手稿。手稿里有莫名其妙、看似荒诞的公式。也有实验性质的数学研究方法论,更不乏整页整页的怪异公式:

看到后面几页,哈代不禁惊呼:“这些定理彻底把我打败了,真是见所未见,闻所未闻!”在看完最后一页上的连分式定理后,哈代认为这些定理“一定是成立的,因为没有哪个人类的想象力可以强大到凭空把它们造出来。” 哈代的一位同事在看过拉马努金的手稿后,评价说:“即使在世界上最顶尖的数学测试里,也不会有人能证出其中任何一条定理。”

当时他们还不知道,写出这些公式的印度穷小子拉马努金不但从未参加过世界顶尖数学测试,甚至连正规的高等数学教育都没受过。

数学品味不错,也有些能力,但缺乏必要的教育背景及学术训练

1887年12月22日,施里尼瓦萨·拉马努金出生于印度南部一个偏僻小镇。虽然是婆罗门家庭出身,家境却十分没落穷困,一家7口人靠父亲在布店打工挣来的微薄薪水度日。

拉马努金

拉马努金

拉马努金从小便表现出了远在同龄人之上的博闻强记,10岁时成绩已经考到了学区第一,还能背出π的很多位及大量梵语词根。11岁时问出的数学问题已经难倒了借住在家里的两个大学生。12岁时因为毕达哥拉斯定理,对几何学产生了兴趣,遂自行展开对等差级数和等比级数性质的研究。13岁时,高年级学长借给他一本数学家罗尼编写的教材《高等三角学》,他没多久便自学完毕,得到了正弦和余弦函数的无穷级数展开式,后来才知道,他自己创造出来的公式居然正是大名鼎鼎的欧拉公式。

15岁时,朋友借给他英国数学家G·S·卡尔的《纯粹数学与应用数学概要》一书。这本书中收录了代数、微积分、三角学和解析几何的5000多个方程,但没有给出详细证明。拉马努金便把每一个方程式当成一个研究题目,尝试用自己独特的方法对其进行证明。这花去了他大约5年的时间,留下了几百页的数学笔记,对他今后的工作产生了深远的影响。

高中毕业时,他的成绩已经好到校长觉得满分都不足以道尽他的优秀。他也因此获得了大学的奖学金。然而过度沉迷于数学让他挂掉了其他绝大多数课程,奖学金也被中止。压力之下,拉马努金甚至一度离家出走数月,急得母亲给当地报社寄去了一份寻人启事:

拉马努金母亲发布的寻人启事

拉马努金母亲发布的寻人启事

被找回来的拉马努金换了所高校就读,结果却依旧毫无起色:数学优秀,其他几乎所有科目都不及格,补考还是不及格。学校对他忍无可忍,最终将他开除。

辍学令本不富裕的拉马努金的生活雪上加霜。幸而马德拉斯港务信托处官员拉奥赏识他的数学才华,愿意让他以虚职挂在自己办公室名下,实际只需在家专注研究数学问题。然而无端接受别人的资助对拉马努金来说并不是愉快的体验,自尊心很强的他有时一个月都不愿去领一次工资。最潦倒的时候,拉马努金的胳膊肘上结了一层厚厚的老茧,因为他已经连最便宜的算草纸也买不起,只能用粉笔在石板上演算,写满就赶紧用手肘擦掉继续。邻居太太看不过去,几次请他来家里吃饭。

没有文凭,没有收入,连一箪食一豆羹都要靠别人施舍,拉马努金看不到自己的未来,却不曾有一刻放弃过数学。1911年,拉马努金的第一篇论文《关于伯努利数的一些性质》发表在《印度数学学会会刊》上。数学界的大门从此正式对他敞开。

拉马努金手稿

拉马努金手稿

在陆续发表了几篇文章后,他的资助人和朋友试图将他介绍给英国数学界。他们首先尝试给UCL的M·J·M·希尔写信,希望他能收拉马努金为自己的学生。希尔拒绝了这项提议,承认“拉马努金的数学品味不错,也有些能力”,但缺乏必要的教育背景及学术训练,只给拉马努金提供了一些指导意见和阅读书目。不甘心的拉马努金又将目光转向了剑桥。他先是给剑桥的两位数学教授写信,附上自己的手稿,但都被原封不动地退了回来,一句评语都没有。直到G·H·哈代拆开他的邮件。

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我们学习数学,而拉马努金则发现并创造了数学

哈代比拉马努金大十岁,父母都是老师,从小上的都是名校,而他是名校里的尖子生。从剑桥三一学院毕业后,哈代顺理成章留校成为了研究员,收到拉马努金邮件的时候早已升到了教授级别。

哈代

哈代

哈代具有优秀的头脑,完美的学历,成功的事业,但性格过于一板一眼,中规中矩,连打板球的时候都带着一股书呆子气,同时还是坚定的无神论者——他的一切都和拉马努金截然相反。难怪日后哈代评价说,自己和拉马努金的合作是“一生中最浪漫的事件”。

在征求了同事、数学家李特尔伍德的意见之后,哈代确信,拉马努金的研究“绝对是我见过的最卓越的”,并且称拉马努金是“最高水平的数学家,一个同时兼具创造力和能力的人”。几番周折,1914年,哈代终于说服了迟迟不愿离开印度的拉马努金,剑桥三一学院终于迎来了有史以来第一个印度院士。

拉马努金(中)在剑桥

拉马努金(中)在剑桥

尽管拉马努金的学习态度刻苦又真诚,但哈代很快发现,没有专业数学底子的拉马努金从某种意义上说根本不明白“证明”是怎样的过程,对现代意义上的学术严谨缺乏最基本的概念,也不懂得用专业术语进行描述。这个笃信教的印度人每当需要灵感和思路就祭拜大吉祥天女,接下来“眼前就会出现打开的卷轴,上面有写好的公式”。拉马努金曾说过,如果一个公式不能代表神的旨意,那么对他来说就分文不值。

显然,作为伯乐的哈代可不这么认为。在他看来,“我们学习数学,而拉马努金则发现并创造了数学”。本就想象力异常丰富的拉马努金,在哈代严格的指导下如鱼得水,在接下来的5年里,他们共同发表了28篇重要论文。因为在数学上的卓越成就,拉马努金31岁时当选为第一个英国皇家学会的亚洲会员。他在堆垒数论尤其是整数分拆方面做出了重要贡献,在椭圆函数、超几何函数、发散级数等领域也有不少成果。他所预见的数学命题中,有许多在日后得到了证实。仅仅靠证明了拉马努金1916年提出的一个猜想,比利时数学家德利涅就获得了1978年的菲尔兹奖。

《知无涯者》剧照

《知无涯者》剧照

除了在纯粹数学方面做出卓越的成就以外,拉马努金的理论还在其他专业得到了广泛应用。他发现的数个定理在包括粒子物理、统计力学、计算机科学、密码技术和空间技术等不同领域起着相当重要的作用,甚至晶体和塑料的研制也受到他创立的整数分拆理论的启发。而他在黎曼ζ函数方面的研究成果,现在已经与齿轮技术的进步挂上了钩,还被用于测温学及冶金高炉的优化。他生命中的最后一项成果——模仿θ函数有力地推动了用孤立波理论来研究癌细胞的恶化和扩散以及海啸的运动。最近有专家认为,这一函数很可能被用来解释宇宙黑洞的部分奥秘,而令人吃惊的是,当拉马努金首次提出这种函数的时候,人们连黑洞是什么都还一无所知。

至今,仍不乏追随者在沿着拉马努金的足迹前行,孜孜不倦地钻研着拉马努金的笔记,试图挖掘出潜在的价值。

每个正整数都是拉马努金的朋友

严格的素食和英伦湿冷的天气使得拉马努金的健康渐渐恶化,最终患上了肺结核。有一天,哈代打车去医院探视拉马努金,向病床上的拉马努金提到那辆出租车牌号是1729,看起来真是又枯燥又不吉利的数字。然而拉马努金却轻松地脱口而出:“不,这是个有趣的数字,它可以写成12的立方与1的立方之和,也可以写成10的立方与9的立方之和。” 1792是最小的可以用两组不同立方之和来表示的数。哈代的同事李特尔伍德曾说过,每个正整数都是拉马努金的朋友。对于数字,拉马努金有一种天生的敏感,这是任何人通过一味苦读都难以培养出的。

一战爆发,拉马努金终于回到了朝思暮想的印度。思乡病可解,肺结核在当时却无药可救。1920年4月26日,贫病交加的拉马努金在印度马德拉斯病逝,终年32岁。

知无涯者

生前一直为生计所苦恼的拉马努金在去世多年后收获了无数荣誉:1950年,马德拉斯大学建立了以拉马努金命名的高等数学研究所,并在研究所门前竖立起了大理石像;印度人将拉马努金与把圣雄甘地及诗人泰戈尔相提并论,称作“印度之子”。在1962年拉马努金诞辰75周年之际,印度发行了一套纪念他的邮票。

1975年印度成立了“拉马努金学会”,1986年开始出版会刊。到1987年即拉马努金诞辰100周年之际,印度已拍摄了3部有关他生平的电影。1987年在拉马努金的故乡马德拉斯,当容纳他最后一年心血的遗著《失散的笔记本》出版时,印度前总理甘地亲自赶去祝贺并参加了首发式。美国佛罗里达大学于1997年创办了《拉马努金期刊》,专门发表“受到他影响的数学领域”的研究论文;该校还成立了一个国际性的拉马努金数学会。千禧年时,《时代》周刊选出了100位20世纪最具影响力的人物,其中就有拉马努金,并称赞他是一千年来印度最伟大的数学家。现在国际上有两项以拉马努金命名的数学大奖,专门颁发给“与他有相同研究方向”的杰出青年数学家。已获奖的华裔数学家有陶哲轩、史宇光、张伟和恽之玮。为纪念拉马努金对数学的贡献,印度总理辛格于2012年2月26日宣布其诞辰(每年12月22日)为“印度数学日”。

2016年4月,由菲尔兹奖得主曼朱尔·巴尔加瓦和古根海姆奖得主小野健作为顾问拍摄而成的拉马努金传记电影《知无涯者》上映。对拉马努金来说,“知无涯者”似乎来得比任何获奖称号更贴切。生年有数,而知识无涯,真理永恒。正因为如此,才更要燃烧一生去捕捉永恒的浮光掠影吧。

拉马努金的故居如今被保护起来,辟为了旅游景点。据门前的保安说,一年也见不到几个游客,一如房子主人生前的冷清。

拉马努金故居

拉马努金故居

我们可以想象,在黎明前的静谧时刻,拉马努金一定曾点亮一盏油灯,以谦恭的姿态跪在他的女神面前喃喃祈求数学灵感。

在那一刻,他一定是最接近无限的人。

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13 Responses

  1. google~说道:

    世界数学最高奖是,它与1932年在第九届国际数学家大会上成立,于1936年首次颁奖,是数学家的最高荣誉奖.

    A.诺贝尔数学奖
    B.拉马努金奖
    C.菲尔兹奖

  2. 恐惧症说道:

    拉马努金,对于数字的敏感和对数学的直觉,个人认为罕有人与之匹敌.问:如果穿越回古代,你要做什么?
    在知乎见过有人回答,最好是像拉马努金那样,事先背好几百个没有证明过程只有结果的数学公式,穿越后赶紧默写出来,不做任何解释,反正你也没这能力,马上自杀。这样你留下的知识可以供那时候的人研究几百年,他们会奉你为先知,称你是超越时代的人。这是一个好点子。

  3. 甲醇说道:

    方肘子嘲笑的是那些人“不学”还想“有术”,跟拉马努金始终在学习最先进数学理论这种科学素质是没法比的,总有脑残说一些脑残言论,奥数到底难不难,需不需要天赋,一学就知道了!总有脑残嘴一张一闭,就把奥数整成了技术工种……对于这种脑残,你不喷也不行啊

  4. 大家说道:

    我们学习数学,而拉马努金则发现并创造了数学。这句话道出真谛.帮你百度理解一下大家的意思:大家有几个方面明显不同的意思:
    一是代词,指一定范围内所有的人。例如:大家好!
    二是指著名的专家。例如:书法大家
    三是指世家望族。例如:大家闺秀
    四是后妃、近臣对皇帝的称呼。汉蔡邕《独断上》:“亲近侍从官称(天子)曰大家,百官小吏称曰天家”。

  5. 奥巴马说道:

    多数都这样,没有安逸的条件,研究个毛?典型的例子是哥廷根大学数学系主任埃德蒙•兰道,巨有钱的数学家,学术实力也不错,希尔伯特从哥廷根退休后,他的影响力应该只比赫尔曼•外尔低..我就是纳闷,为什么总是有文章写那些命苦的科学家,但是很少看到写那些又有钱又有成就的科学家的。是因为有钱条件好,所以搞出科学成果就没那么牛逼了吗?给人种错觉搞科学的都苦逼得很,都是死了之后才有人来缅怀他们的伟大。

  6. 王子墨说道:

    拉马努金从小便表现出了远在同龄人之上的博闻强记,10岁时成绩已经考到了学区第一,还能背出π的很多位及大量梵语词根。11岁时问出的数学问题已经难倒了借住在家里的两个大学生。12岁时因为毕达哥拉斯定理,对几何学产生了兴趣,遂自行展开对等差级数和等比级数性质的研究。13岁时,高年级学长借给他一本数学家罗尼编写的教材 《高等三角学》,他没多久便自学完毕,得到了正弦和余弦函数的无穷级数展开式,后来才知道,他自己创造出来的公式居然正是大名鼎鼎的欧拉公式。

  7. 乔彬说道:

    民科不是指民间的人搞科学,而是指完全没有学术基础的人妄想搞科学,连初中三角函数都不懂,连微积分等最基本的高等数学工具都完全不懂的突发奇想弄出一个公式妄图颠覆科学届,从而扬名立万,这才是民科的真实含义。文中的人只是不具备大数学家的学术规范而已,在数学上的天分及基本素养是很高的,跟很多科学大师的经历类似。

  8. 汪小菲说道:

    别扯淡了,没受过正规的高等数学教育,沉迷数论,尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式,以及整数分拆。惯以直觉(或跳步或称之为数感)导出公式,没有专业数学底子的拉马努金从某种意义上说根本不明白“证明”是怎样的过程,对现代意义上的学术严谨缺乏最基本的概念,也不懂得用专业术语进行描述。这个笃信教的印度人每当需要灵感和思路就祭拜大吉祥天女,接下来“眼前就会出现打开的卷轴,上面有写好的公式”。这要是碰到方舟子绝对归为民科之流,并且喷出翔来

  9. 朴灿烈说道:

    天才是对一些人的褒奖,也同样成为一个群种赖以麻痹自己的工具,这样一个群种过分的用天才来评价一些人借以掩盖自己的不努力,懒惰,麻木,浮夸,自恋及缺乏对人对己的尊重,突出了天才们”的无法复制性,掩盖了可能自己出生还优于天才们”的优越性,从而毁掉了“努力去追求卓越这种人性来获得欺骗性的安全感,满足感。并且大量集中在,充分利用并活跃在互联网的新一代青年人中,以网络评论区居多,而这帖子狠狠地扇了这个群种一个耳光,然而可以预见的是,这个群种的特性赋予他们灵活的辩论口舌能力,能短时间的变化出另一套借口来为自己开脱,在心理学里叫 合理化,也是人类摆脱焦虑的一个不错方式。

  10. 霍建华说道:

    在这个世界中,任何事物都有固定的频率段,过去,现在,未来,任何事发生的经过,结果早已注定。对这个世界的事,每个人能接收频率的范围各不同。但大部分在一段范围内,这类人是普通人。有些人,能接收到大部分人接收不到的段落,这小撮人就是我们眼中的天才。高深的理论随手拿来,像是在脑海中已经写好,只需要读出来便是。天才是无法理解的。这个世界是虚拟的。所有规则都写好。文章乃天成,妙手偶得之,就是这个道理。

  11. 姚知著说道:

    他的传记我读过一部分。
    此神人学数学的方式绝非常人。拿个本子,买了本写着各种数学定理的书(大约五千条定理或公式),然后开始一条条用自己的方式证明。

    这种学习方式既使得他没有走向一般民科的邪路,同时也系统的贯通了已有的定理。同时令他自身能力有了绝对扎实的发挥和训练。而且不少是跟前人的方式不同的,我只能用可怕来形容这种才能!

    他等于是把别人“发明”过的又用自己的方式发明一次,态度十分谦虚又自信。谦虚之处在于他不狂妄的认为前人会犯错,自信之处在于他居然把自己要求拔高到诸多天才前辈的程度。反观如今中国的民科,完全是相反的态度。

    打个比方。现在中国很多民科,就像是一个对建筑一知半解的人,住进一座房子里就开始对房子的布局指指点点,夸口自己要如何改建。而拉马努金的方式,就是看到一座建筑后,凭一己之力重建一次。而且重建方式和原来的方式还未必一样。之后,他才来研究建筑如何改进的问题,才来研究建筑的发展问题。

    这种“学习”方式令他即得到了正统体系,又有充分个人独到之处。比起一般人拼命理解前人的解答,他的天赋异禀令人毛骨悚然!

    在数学领域的具体成就影响,就算说了我们门外汉也难以理解。最直观的,他的笔记至今还有人努力钻研着费力理解。不过这似乎也是数学领域的常态,记得陈浩似乎提及过,许多数学老论文的价值仍待发掘。这也是跟自然科学不同之处。

    对于我等数学门外汉,他的价值贡献,就是让我懂得何谓云泥之别,何谓最扎实的学习,何谓正确对待学术与思考的态度。数学成果多大先不提,就对他才能的肯定,绝对是没有『过誉』的。
    对于常人的『启示』就是——学习的时候多费点脑子,想想有别没有的方式得到前人的结论,多玩点『花样』。

    如果觉得看维基百科太麻烦,给两个8分钟的视频,是梁文道的节目介绍他的传记。我也是看了这个节目才买了书。
    另外弱弱的吐槽一句:万恶的英国气候,看完这两个节目你就明白了。我觉得我跟拉马努金大神唯一一点共同的,就是我受不了阴冷天气。另一点有点类似的,就是我读书喜欢看结论,然后试着自己证明,实在不能证明再来看别人的论述,再来怀疑结论是否正确。这导致我对拉马努金有特别的亲切感。

    修成正果的业余数学家。
    哈代认为比希尔伯特天分还高的数学家(希尔伯特80,拉马努金100,哈代自己25。)哈代都这么评价,您说呢?希尔伯特和哈代比拉马努金名头可响多了也没人说他们过誉。要不是身体不好英年早逝(数学家大都犯这毛病),拉马努金的成就远不止这些。

    拉马努金最牛的地方在于自己能从基本上无知构造了数学系统,早年被哈代忽视就是因为这位把自己的“成果”——早已经证明过的定理寄给他被他当成开玩笑的。数学领域,最牛的不是会做题,而是会用以前没见过的方法做题。

    之前看过央视记录频道的一个纪录片"来自远古星星的你",讲述了拉马努金、爱因斯坦、苏格拉底等智慧超人的神人之所以取得如此成就都有一个共同特征,他们都有同宇宙进行意识交流,同外太空世界获取灵感,从而创造出新的理论知识。难道这就是人与宇宙的心灵感应?

    数学的学习是有明确的目标和方向,概念命题定理公式。一步步的追随前辈的足迹和思想轨迹是让人向往的数学之魂,数学的学习很优美的,在复杂的公式和方程背后都会隐藏着美丽的几何与结构,是太阳升起平静大海海面。

    但是,到了数学研究的时候,你遇到的是模糊的方向,大量可能性,甚至矛盾的条件。仿佛在夜晚风雨交加的暴怒的大海中航行。突然迷途的你遇到了灯塔,你会有了清晰的方向并链接起你的整个思路。那这个灯塔就是拉马努金的那些笔记。

    他的数学有一种印度的神秘,不能理解的人会把他看做民科,因为它的公式都是复杂的函数的复杂组合,它的推理过程也是颇为巧妙和随机。偶然性是数学概念的关键,但是出现在数学的研究过程中偶然性过多就与数学无关了。这和现代数学强调抽象和推理的严谨性格格不入。同时这也是他被一些数学爱好者和数学专业学习者之间的矛盾的认识的原因。这就是范式冲突!

    遇到了冲突,我们首先需要问挖掘出拉马努金的老师哈代:哈代认为他招来的学生没有正规的学术训练,但是同时也不希望学术的约束而丢弃了拉马努金的特性,哈代的坚持也得到了回报,当我们重新发现了拉马努金的思想。

    同时,我们应该把眼光放的更为开阔,已知数学世界仅仅是茫茫大海上的零星孤岛,在没有卫星的时代,我们需要绘制一张航海图,那最好的是有一些坐标和灯塔,这个灯塔大多是直观的和已经到过的地方,那拉马努金就是其中不多见的灯塔。

    不谈论数学的数学思辨都是耍流氓!

    拉马努金的数学方向是数论,他的很多公式与现代模理论都是之间相关,而模理论是一个巨大的体系和一个未知的世界,拉马努金的公式就像离散世界里的多面体和图论的欧拉公式,就像连续的微分几何的高斯博内特公式(欧拉高斯公式不过一个公式和概念的两个表示),其实欧拉高斯公式只是指标定理的孤岛飘在海平面上的很浅的部分,但是它们开拓了一个伟大的学科和现代数学的开始!

  12. 科里昂麦克说道:

    意大利文艺复兴时期的大数学家卡尔达诺,此人和达芬奇一样,都是一个百科全书式的人物。
    写出了概率论的第一本著作《论赌博游戏》
    首次公布了三、四次代数方程的一般解法
    第一个对斑疹伤寒做了出临床描述
    还有两部著作:《事物之精妙》及其补充《世间万物》。从这两本书的名字就能看出来有多牛了,一般的学者写书根本不敢起这类名字。
    不过卡尔达诺还有另一个身份,占星术士。占星术在当时可是名正言顺的科学,当时大学里还有占星术教授的职位,甚至连教皇有事没事都要找占星术士问一下吉凶。
    卡尔达诺作为当时著名的大星象家,在自己的人生晚年干了一件作死的事情。
    这货通过占星术推算出自己将在1576年9月21日去世。结果到了那天,发现自己身体倍棒,吃嘛嘛香。
    怎么办呢,为了保全自己大星象家的名声,他自杀了。

    我觉得真正的数学天才不是逻辑性多强,可以一步一步地完美地推导出什么定理,这只是对数学家的基本要求。他们与普通人的区别在于拥有一种无法描述的对数字的敏感。
    譬如高中数学中重点的几大板块,函数,圆锥曲线,立体几何,数列,排列组合。我觉得函数,圆锥曲线,立体几何你只要逻辑严密,一步一步的去做,每一步代表什么意思,下一步的方向是什么,都是非常明确的,并不难。而数列中不等式的证明,你就没有方向感可寻,我们大家都知道通用的放缩法,但是即使你知道方法,你也不知道该怎么放缩,放缩到哪里合适,这个方向是有无数个的,如果不是对数字敏感根本想不出来。(当然高考那些题目套路就那么几个,总结一下大部分人也就能做出来了,但是这是因为套路死板而已,出了套路之外,没几个人能做出来。)还有排列组合中的概率问题,这种问题根本上考察的是你对数字的理解和敏感性,如果出难了,你用那些排列组合公式是无法解决的,必须要靠抽象的数字等效能力解决。
    对数字敏感的数学天才代表有很多,像高斯,帕斯卡。但我想介绍下面这位印度天才,一个出生在南印度农村的穷小子,凭一己之力推导出了1000多个定理,其中很多在欧洲早已被证明,有很多还没被证明。而且他推导定理是靠直觉的,而不是逻辑。(他是婆罗门,他认为这些直觉是神赐予他的。。)

    最最重要的是他证明了1+2+3+4+5+….=-1/12,这个真的是颠覆了我的三观,全体自然数相加居然等于一个负值。。。在无穷的世界里有很多奇妙的未知的秘密等待着我们去探寻,感谢像拉马努金这样的数学天才引领我们探索未知。

    斯里尼瓦瑟·拉马努金(泰米尔语:ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்,转写:Srīṉivāsa Rāmāṉujan Aiyaṅkār,又译拉马努詹,1887年12月22日-1920年4月26日)是印度历史上最著名的数学家之一。
    他没受过正规的高等数学教育,沉迷数论,尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式,以及整数分拆。惯以直觉(或者是跳步)导出公式,不喜作证明(事后往往证明他是对的)。他留下的那些没有证明的公式,引发了后来的大量研究。
    1997年,《拉马努金期刊》(Ramanujan Journal)创刊,用以发表有关“受到拉马努金影响的数学领域”的研究论文。

    早年生活

    拉马努金出生于印度东南部泰米尔纳德邦的埃罗德。1898年,在他十岁的时候,进入贡伯戈讷姆一所中学,在那里他似乎第一次接触到正规的数学。11岁时,他已经掌握了住在他家的房客的数学知识,他们是政府大学的学生。13岁时,他就掌握了借来的高等三角学的书里的知识。他的传记作家称他的天才在14岁时开始显露。他不仅在他的学生岁月里不断获得荣誉证书和奖学金,他还帮学校处理把1200个学生(各有不同需要)分配给35个教师的后勤事务,他甚至在一半的给定时间内完成测验,这已经显示出他对无穷级数的熟练掌握;他那时的同校的人后来回忆说:“我们,包括老师,很少能理解他,并对他‘敬而远之’”。但是,拉马努金在其他科目无法集中注意力,并在高中考试中不合格。在他生活的这个时段,他也相当穷困,经常到了挨饿的地步。

    成年工作

    在印度的成年阶段因为结了婚,他必须找到工作。带着他的数学计算能力,他在真奈(旧称马德拉斯)到处找抄写员的工作。最后他找到了一个工作,并在一个英国人的建议下和剑桥的研究人员联系。
    作为真奈总会计师事务所的职员,拉马努金奢望可以完全投入到数学中而不用做其他工作。他恳请有影响的印度人给予支持,并在印度数学期刊上发表了一些论文,但并未成功找到经济支持。到这个时候,慕克吉(AshutoshMukherjee)爵士试图支持他的事业。

    展示才能

    在1913年拉马努金发了一长串复杂的定理给三个剑桥的学术界人士贝克(H.F.Baker)、霍布森(E.W.Hobson)、哈代(G.H.Hardy),只有三一学院的院士哈代注意到了拉马努金定理中所展示的天才。
    读着不知名和未经训练的印度数学家的突然来信,哈代和他的同事利特尔伍德(J.E.Littlewood)评论道:“没有一个定理可以放到世界上最高等的数学测试中。”虽然哈代是当时著名的数学家而且是拉马努金所写的其中几个领域中的专家,他还是说很多定理:“完全打败了我”、“我从没见过任何像这样的东西。”
    作为他的成果的一个例子,拉马努金给出了漂亮的连分数:其中是黄金分割。

    晚年趣闻

    拉马努金病重,哈代前往探望。哈代说:“我乘出租车来,车牌号码是1729,这数真没趣,希望不是不祥之兆。”拉马努金答道:“不,那是个有趣得很的数。可以用两个立方之和来表达而且有两种表达方式的数之中,1729是最小的。”(即1729 = 1^3+12^3= 9^3+10^3,后来这类数称为的士数。)
    利特尔伍德回应这宗轶闻说:“每个整数都是拉马努金的朋友。”

    人物成就

    包括拉马努金自己的发现和那些在和哈代的合作中发展和证明的定理,有高度合成数的性质 ,整数分割函数和它的渐近线、拉马努金θ函数 。
    他也在下列领域做出重大突破和发现: 伽傌函数 、模形式 、发散级数 、超几何级数 、质数理论 。
      虽然很多命题都可以称为拉马努金猜想,有一个特别适合这个称号,它在后续工作中非常有影响。拉马努金猜想是一个断言,这是关于τ-函数的系数大小的,而那是一个模形式理论中的典型尖形式(cuspform)。这在几十年后被证明为魏尔猜想的证明的一个结果,归约步骤是很复杂的。

    人物评价

    拉马努金是印度在过去一千年中所诞生的超级伟大的数学家。他的直觉的跳跃甚至令今天的数学家感到迷惑,在他死后70多年,他的论文中埋藏的秘密依然在不断地被挖掘出来。他发现的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。

    1.欧拉–记忆力惊人
    据说欧拉晚年的时候,欧拉毕生的研究,一屋子的笔记一夜之间全部被烧了,此时欧拉也失明了,靠着惊人的毅力和记忆力,欧拉回忆口述了所有被烧毁的笔记,经助手整理,很多研究才得以保存。
    2.伽罗瓦–智商无敌,情商堪忧
    历史上最著名的两个外星数学家(因为他们智商已经不是人类可以想象的了)之一的伽华罗,英年早逝,竟是为了一个妓女和别人决斗被刺死的,不是因为所谓的爱情,伽罗瓦根本不爱那个妓女,仅仅因为被挑战了,碍于面子。
    3.费马–在牛顿之前发明微积分的人
    这位天才的业余数学家一生未发布自己的研究成果,死后由儿子整理其笔记发布的,可见其有多低调,这里说一个野史,据说微积分其实早就发明了,很多数学家头脑里有这个概念,当时费马和牛顿的通信中跟牛顿提了这个微积分的理论,牛顿大赞,然后牛顿发明了微积分。
    4.柯西–阻止数学理论上两次飞跃的千古罪人
    柯西算是我们最熟悉的数学家了,他的产量像头母猪,一生都沉浸在研究数学的生活中。但是柯西对于数学发展不能用贡献来形容,他的功绩相对于他造的孽来说不值一提。因为他的原因间接导致了数学史上两位极其天才的数学家的死亡,他们一个是伽罗瓦,一个是阿贝尔。他俩仅仅都只活20几岁,但是任何一人的功绩都远超奋斗几十年的柯西。

    Johann Carl Friedrich Gauss(1777-1855),史上最牛的数学家。他上知天文,下知地理,涉足数学各个领域,死后都在用未知的神秘力量影响着数学的发展。作为当之无愧的第一大数学家,Gauss 有很多鲜为人知的传奇经历,现在就为你一一八卦:

    Erdős 相信上帝手中有一本包含世间所有精妙证明的天书。上帝相信这本书在 Gauss 手上。
    Gauss 把无穷当作归纳证明中的第一个非平凡的情况。
    Gauss 不用任何公理就能证明一个定理。
    Gauss 不理解什么是 P=NP。在他看来,一切都是常数级别的。
    Gauss 从后往前列举了一下质数,就知道了质数有无穷多。
    Gauss 从来不会用光书本页面边缘的空白。
    Gauss 的 Erdős 数为 -1。
    Gauss 等于自己的幂集。
    Gauss 可以化圆为方,再把它变成一个四维球。
    Gauss 可以既无重复又无遗漏地走遍 Königsberg 的七座桥。
    Gauss 可以用尺规作图三等分角。
    Gauss 可以在六步以内解决骑士周游问题。
    Gauss 同时给 Bertrand Russell 和自己理发。
    Gauss 想喝果汁时,直接对橙子使用夹挤定理。
    Gauss 唱完 “Aleph-Null Bottles of Beer on the Wall” 只用了四分钟。
    Gauss 用 Klein 瓶喝酒。
    Gauss 做俯卧撑时,他不是把自己撑起来,而是把整个地球按下去。
    Hilbert 不能住进 Gauss 旅馆,因为 Gauss 旅馆已经满房了。
    不是 Gauss 发现了正态分布,而是自然规律遵循着 Gauss 的模型。
    读了 Gauss 的书之后,Maxwell 决定退出数学界,从事咖啡行业。
    对于 Gauss 来说,算术公理体系同时满足完备性和一致性。
    尽管微积分在 Gauss 生前 100 年诞生,但 Gauss 仍然发明了微积分。
    如果 Gauss 发表了他的所有发现,数学界里就没啥可证的了。
    有一次,Gauss 和自己玩了一个零和游戏,然后赢了 50 块钱。
    有一次,Fermat 惹怒了 Gauss,于是就有了 Fermat 最终定理。
    只有 Gauss 才知道 Schrödinger 的猫是死是活。

  13. 一个21岁就去世了的年轻人,开创了现代代数学的先河说道:

    写这篇文章不是给学习近世代数的人用的,而是给不熟悉数学的人看的。哪怕不能完全看懂,我也希望人们能了解数学研究所达到的高度,能够领略数学之美。

    撰文 赵昊彤(数学爱好者,毕业于清华大学工程物理系)

    主编点评

    数学的历史是天才荟萃的历史,而伽罗瓦毫无疑问是天才中的天才。他从16到21岁的五年之间,系统地发展了用群论取代计算的奇思妙想,创造了美妙至极的伽罗瓦理论,这可以说是数学史上无中生有、开天辟地的奇迹。用现代的观点看,伽罗瓦这位两百年前的“政治愤青”,他的数学成就绝不是几个菲尔兹奖就可以衡量的。看看这套理论的简单推论吧,它不仅轻松地解决了五次以上方程式没有根式解的旷古难题,还同时解决了尺规三等分角,倍方问题等千年难题。这是所有数学家梦寐以求,至高无上的研究境界。

    有意思的是,这几个著名的难题迄今都还吸引着不少业余数学家们孜孜不倦。我衷心地希望这些数学爱好者们能把他们的热情和精力用来研读伽罗瓦理论,这是进入现代数论,乃至现代数学的法门。另外,受伽罗瓦群论的影响,数学家李在一百五十年前创造了连续群,称为李群,这是数学中另一个伟大的理论,它与伽罗瓦理论都成为了现代数学研究生的必修课程。两百年后的今天,伽罗瓦理论依然影响着几乎每一个数学领域的发展。更确切地说,它的影响还在与日俱增,已经远远超越了数论乃至数学的世界。毫不夸张地说,群和对称早已经成为了许许多多科学发现的指南针。

    众所周知,法国人天性浪漫,德国人生活严谨,但两个国家的历史上,却都产生了许许多多伟大的数学天才。真心希望我们伟大的祖国有一天能冒出伽罗瓦般的天才。伽罗瓦本人的生命如流星一般,短暂灿烂,悲壮传奇,也许只有这样的生命才会开出如此绚丽的智慧之花。这篇文章非常精彩地介绍了伽罗瓦的生平与数学成就,并明确地解释了群环域的基本概念,阐述了伽罗瓦理论的精髓,引导我们领略了伽罗瓦理论的深刻和美丽。我很高兴将这篇文章与赛先生的读者朋友们共享。

    ——刘克峰

    伽罗瓦(Évariste Galois,1811–1832),一个21岁就去世了的年轻人,开创了现代代数学的先河。他创建的群论和域论优美精妙,已经成为现代代数学的基本工具。我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论,随着理解的深入,我内心不断感受到震撼,心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样,不由自主地希望与别人共享。遗憾的是,数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。伽罗瓦理论虽然优美,但是却足够深奥,除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外,尚不能被普通大众所理解。

    可是我不甘心,我期望着尽自己的努力,用最简明通俗的语言,尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导,而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。伽罗瓦是200年前一个有故事的年轻人,伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事,一边尝试着攀登这座高峰吧。

    伽罗瓦的画像(图片来源:公有领域)

    首先,我们来引用伽罗瓦的一段话:“Jump above calculations, group the operations, classify them according to their complexities rather than their appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians; this is the road I’m embarking in this work.”(跳出计算,群化运算,按照它们的复杂度而不是表象来分类——我相信,这是未来数学的任务,这也正是我的工作所揭示出来的道路。)

    当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候,没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。甚至是在伽罗瓦第二天参与一个愚蠢的决斗而死后的14年内,都没有人彻底弄明白伽罗瓦写的到底是什么,他头脑中那伟大而天才的数学结构是怎样的?看看这些霸气的名字吧,高斯、柯西、傅立叶、拉格朗日、雅可比、泊松……这些在那个时代、同时也是人类历史上的伟大的数学家、物理学家都没有理解伽罗瓦的理论,从这个意义上讲,伽罗瓦恐怕是人类历史上最具天才的数学家了。

    让我们先来看一些对比:

    (1)1824年,挪威数学家阿贝尔发表了《一元五次方程没有一般代数解》的论文,用了50多页的篇幅和大量的计算,论证了一般的一元五次方程是不可能根式求解的。当时阿贝尔的证明今天看来,充满着智慧和复杂的计算,但是仍不够严谨。当我们今天使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候,论证过程就会精简为“一般一元五次方程的伽罗瓦群同构于全置换群S5,而S5不是可解群,因此一般一元五次方程不可根式求解。”

    (2)1801年,年轻的24岁“数学王子”高斯通过复杂的计算推导,证明了xp-1=0(p为素数)是可根式求解的,证明过程使用了大量计算技巧,充分展示了高斯的数学计算天赋。今天我们使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候,论证过程为“方程xp-1=0(p为素数)在有理数域Q上的伽罗瓦群同构于素数阶模p同余类乘群Zp,而Zp是循环群,必为可解群,因此方程xp-1=0可根式求解。”甚至我们可以类似地论证,p不为素数时的方程xn-1=0在Q上的伽罗瓦群同构于模n同余类乘群Z’n,为可换群(阿贝尔群),必为可解群,因此方程xn-1=0可根式求解。

    伽罗瓦理论还可以轻松地解决正n边形的尺规作图问题,证明三等分角、倍立方、化圆为方(这个有赖于π是超越数的证明)的尺规作图不可能问题。今天,伽罗瓦的理论已经发展成叫做“近世代数”(又叫抽象代数)的一个专门数学分支,其应用拓展到了拓扑、微分几何、混沌等前沿数学研究领域以至于物理、化学等众多科学领域,成为了现代科学研究的重要基础工具。1994年英国数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)证明著名的“费马大定理”的时候,就主要应用了伽罗瓦理论。

    当看到一大批通过繁杂计算很难得到证明的问题,能够通过精巧的数学结构来简洁而精准证明的时候,你也许开始感受到伽罗瓦理论的优美——但这仅仅是一个开始。从这个“开始”,我们会逐渐感受到伽罗瓦所说的“跳出计算,群化运算”的含义。那么伽罗瓦到底发明了什么数学结构和工具,使得原来复杂的问题变得清晰起来了呢?

    一、更高层次的抽象——群、环、域
    伽罗瓦的故事
    有人说“数学也许只存在于数学家的头脑之中”,至少数学是发端于数学家头脑的。1823年,12岁的埃瓦里斯特·伽罗瓦进入了他的第一所学校——路易·勒格兰皇家中学,一所声望很高但相当专制的学校,但是直到16岁,伽罗瓦才被准许读他的第一门数学课程。虽然12~16岁期间的伽罗瓦没有机会研究数学,但是这时期法国社会上和学校中发生的一些事件点燃了他的共和主义倾向,奠定了他日后参与政治的悲剧人生的基础。

    伽罗瓦曾就读的路易·勒格兰皇家中学(图片来源:Wikimedia Commons/CC-BY-SA 3.0)

    原本成绩优秀的伽罗瓦一旦开始学数学,就像变了一个人,变得对其它课程都不重视,而只醉心于数学这一门课程。学校给他的评语是“该生只宜在数学的最高领域中工作,这个孩子完全陷入了对数学的狂热之中。”没有人知道16~18岁中学时期的伽罗瓦头脑中在想些什么,人们只能从表面上看到他所掌握的数学知识足以通过中学的考试要求,但是他对问题的解答往往让考官理解不了。更糟糕的是,他经常把大量的演算放在头脑中进行,使得平庸的考官们更为茫然和沮丧。

    现有的材料表明,17岁的伽罗瓦已经开始研究一般的一元五次方程求解的问题了,他曾提交了2篇论文给法国科学院,当时的评审专家是著名数学家柯西。柯西显然被伽罗瓦的论文所震惊,他建议伽罗瓦重新以专题的形式提交这两篇论文,并参加数学大奖的评审。这期间正赶上伽罗瓦的父亲因政治原因而自杀,伽罗瓦在参加完父亲的葬礼后,把改好的专题论文提交给了法国科学院秘书、著名数学家傅立叶。可惜的是,傅立叶在评审前几个星期就去世了,在这个过程中伽罗瓦的论文也丢失了,从而失去了参加评奖的机会。天知道为什么这两篇很可能是那个时代最伟大的论文被丢失了?难道上帝都在嫉妒伽罗瓦么?

    伽罗瓦理论
    在我们已经全面了解并极大发展了伽罗瓦理论的今天,回想1828年伽罗瓦提交的那两篇论文,我们有理由猜测,伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。在伽罗瓦看来,“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构,这是一种更加本质、更加抽象的数学结构,当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候,就形成了新的数学概念——群。

    (1)群:给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”(这个“乘法”不是数字运算的乘法,而只是借用了这个名字,因此加上了引号),如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足:

    <1>封闭性:集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内;
    <2>结合律:这个“乘法”满足(a*b)*c=a*(b*c);
    <3>单位元:集合中存在某个元素e,对于任意集合中的其它元素a有e*a=a*e=a,e被称为单位元;
    <4>逆元:对于集合中任意元素a,一定存在集合中的另外一个元素a-1,使得a*a-1=a-1*a=e,a与a-1互为逆元。

    此时,这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。

    我本不愿意罗列概念,但是如果要想感受到伽罗瓦理论之美,就必须弄清楚“群”的概念。就像一个人想要欣赏美妙的音乐,你总要能区分音调高低、节奏快慢一样,如果高音“do”和低音“do”在你听来是一样的,那么很难想象你可以欣赏美妙的交响乐。

    “群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。容易验证,整数集合在加法运算下成群(这里的加法就通常意义的数字加法,对应着群定义中的“乘法”),其单位元是数字0;但是整数集合在乘法运算下不成群,这是因为对于大部分整数,没有乘法的逆元。

    其实群在日常生活中也会存在,常见的是魔方,它的全部操作构成一个集合,再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”,则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群,叫做RUBIC群。

    (2)环与域:在一个集合上定义两种运算“加法”和“乘法”,如果这个集合在这个“加法”下成群,而在这个“乘法”下只满足“封闭性”与“结合律”,则称这个集合与这两种运算构成一个“环”;如果这个集合去除“加法”群下的单位元后形成的新集合在“乘法”下成群,则称这个集合与这两种运算构成一个“域”。显然,“域”是一种特殊的“环”。(注:以上不是环和域的严格定义,仅为方便读者理解,严格定义还要提到环上的“加法”和“乘法”还要满足“分配律”。)

    对不起了,伽罗瓦理论是够抽象的,对于完全没有接触过群论、域论的人来说,这几个概念就挺费琢磨。可是没有办法,伽罗瓦理论这座高峰就需要踩着这些概念的台阶来攀登,你想欣赏最美好的风光,就需要把这些“概念”踩在脚下,“无限风光在险峰”。

    如果看懂了这三个概念,特别是看懂了“群”和“域”这两个概念,就会理解这些结构其实就是从基础的数字运算关系中抽象出来的。比如:有理数在加法和乘法运算下构成一个域,0是加法单位元,1是乘法单位元,不包含0的有理数在乘法运算下成群;实数、复数在加法和乘法下都构成域;无理数在加法和乘法下不能构成域,这是因为无理数之和可能是有理数,不满足封闭性。

    下面用群和域的概念做一个思维体操,证明有理数是最小的数域(由数字和加法、乘法构成的域):

    • 数域必有加法单位元0和乘法单位元1;
    • 由加法封闭性得到n个1相加必然还在域内,于是任意自然数n在域内;
    • 再由加法存在逆元得到-n也在域内,这样全部整数必然在域内;
    • 再由乘法存在逆元得到,任意整数n(0除外)的倒数1/n必在域内;
    • 再由乘法成群(去除0后)得到,任意m/n(m和n是整数)也在域内。

    这样,就证明了有理数必须在数域之内,而且构成了一个域。因此,有理数是最小数域。

    做完这个思维体操我们可以知道,不要小看群、环、域这样一些基本概念,这些概念定义的是一种数学结构,只从基本概念出发,就可以得到很多复杂的结果。譬如直到上世纪80年代,数学家们才真正彻底解决了全部有限单群分类的问题,这是经过了近30年时间、由超过100位数学家在500多种期刊上写下的超过10000页的论文而最终解决的,其基础则是200年前伽罗瓦提出的概念——群。

    (3)群和域的同构
    群,不是随随便便就能构成的;域,或许更复杂一些。
    伽罗瓦发现,有些表象不同的群之间,其实质是完全相同的。这样的群称为是“同构”的,也就是说,这样的群在结构和性质上都完全相同,只有表面符号上存在差别。同构的群在去掉表象之后,可以认为是同一个群。

    比如,对某一向量进行旋转的操作构成一个集合A={逆时针转0度,逆时针120度,逆时针240度},定义这个集合中元素的“乘法”为先进行第一个操作、再进行第二个操作,于是A在此“乘法”下构成一个群;再定义另外一个集合B={1,e2πi/3,e4πi/3},定义其上的“乘法”为普通的复数乘法,则B在乘法下也构成一个群。简单分析即可发现,A和B这两个群结构是完全相同的。

    群同构的严格定义是:存在两个群A、B之间的一个双射(即一一对应的映射)ϕ:A→B,满足ϕ(a*b)=ϕ(a)×ϕ(b),其中a、b∈A,ϕ(a)、ϕ(b)和ϕ(a*b)∈B,*和×分别是群A和B的“乘法”。

    类似的,域也有同构的情况。简单说两个域的同构定义为:两个域上的“加法”群同构,并且去除“加法”单位元之后的两个域上的“乘法”群也要同构。

    好了,先不再讲述数学概念了,一些不熟悉数学的人可能已经糊涂了。哪怕只看完最基本的概念,我们也会震惊于伽罗瓦的天才头脑。一个16岁才开始接触数学、21岁就因决斗而死去的年轻人,是如何在那短短5年的时间里面,想通如此复杂的数学构造、得到如此美妙的数学结论的呢?

    二、巧妙的概念——扩域、根式可解、根式塔
    伽罗瓦的故事
    由于伽罗瓦的父亲死于政治事件,再加上伽罗瓦自身的共和主义政治倾向,导致他偏执的认定他的论文丢失事件是由于政治原因而被法国科学院故意制造的。特别是一年以后,伽罗瓦的另外一篇论文被科学院拒稿后,他更认定了这一点。

    但是,今天再来分析这件事,可以比较确定的讲,伽罗瓦的这种判断完全是他的一厢情愿。事实上论文丢失很可能就是一个偶然事件(特别是由于傅立叶的去世),而第二次拒稿则是由于伽罗瓦的思维过于跳跃,论文中的论证过于简单,没有详细展开,导致论文评审者无法判定论文是否严密正确。事实上,以伽罗瓦的天才,在他眼里看来很简单、显然成立的论证过程,可能在别人眼里看来是需要复杂证明的。

    于是,伽罗瓦开始放松了他的研究工作而主要来从事共和主义事业的斗争。这时的伽罗瓦就读于高等师范学校,他作为闹事者的名气已经超越了作为数学研究者的名声,大家已经不再把他当作是数学研究者了,而更多的把他看成是闹事学生。特别是在1830年的七月革命期间,他公开发表严厉攻击校长的言论,终于被校长基尼约特给开除。从此,伽罗瓦的正式数学生涯到此结束。

    被开除后的伽罗瓦参加了国民警卫队的炮兵部队,试图成为一名职业反叛者。可是仅仅1个月后,新国王路易·菲利普取消了炮兵部队,伽罗瓦彻底失业了。索菲·热尔曼,一位当时的年长女数学家曾经在信件中记述伽罗瓦“他身无分文,他的母亲也几乎没有钱财,但他却不改变得罪人的习性”。

    在1831年上半年的一次共和主义者聚会活动上,伽罗瓦表达了杀死国王的意图,于是被控“威胁国王生命罪”而受审。陪审团最终考虑到他年仅20岁,尚未完全成熟,判决无罪释放。一个月后,1831年7月14日的巴士底日,伽罗瓦身着已经被解散并查禁的炮兵警卫队制服在巴黎游行,从而被判处监禁。之后在监狱的几个月中,他学会了喝酒,在一次喝醉后还试图自杀。

    1832年3月,由于霍乱的爆发,伽罗瓦被提前释放。之后的几个星期里,伽罗瓦和一位巴黎医生的女儿斯特凡妮发生了风流韵事。偏偏这个女人已经和一名叫做Pescheux d’Herbinville的绅士订婚了。这名绅士知道了自己未婚妻和伽罗瓦的事情后,十分愤怒,毫不犹豫向伽罗瓦提出挑战。这名绅士是当时法国一名最好的枪手,伽罗瓦深知决斗会给自己带来什么,但是他仍然接受了挑战。

    挑战的前夜,伽罗瓦知道第二天将是自己生命的终结了,他唯一担心的是他被法国科学院拒绝的数学研究成果会永远消失,毕竟当时还没有人能够理解他的理论。他在这一个晚上力图写下他全部的数学思想,书写的字里行间不时的出现“斯特凡妮”或者“一个女人”等字样,还多次出现“我没有时间了”的感叹。在第二天凌晨,伽罗瓦写完了他的数学思想,并给他的朋友写了一封信。

    信中,伽罗瓦自信地写道:“在我的一生中,我常常敢于预言当时我还不十分有把握的一些命题。但是我写在这里的一切已经清清楚楚地在我脑海里形成1年多了,我不愿意使人怀疑我宣布了自己未完全证明的定理。请公开请求雅可比或者高斯对这些定理的重要性(而不是定理的正确与否)发表他们的看法。然后,我希望有人会发现将这一堆东西整理清楚会是很有益处的事。”

    第二天,1832年5月30日,伽罗瓦只身一人参与决斗,最终腹部中弹,无望地倒在地上,胜利者悄然离去。伽罗瓦的兄弟阿尔弗雷德在几个小时之后到达现场,把他送到医院,但是为时已晚,腹膜炎已经形成,5月31日,伽罗瓦离开了人世。

    伽罗瓦理论
    我无法想象1830年到1832年这段时间,伽罗瓦在食不果腹、不断入狱的条件下,在把主要精力都投入到政治斗争的情况下,是如何继续深入思考他的数学研究课题的。在我看来,即使衣食无忧的情况下想把伽罗瓦的理论全部学懂,都是不容易的,何况是创造出来。

    由于伽罗瓦的研究成果是以上面提到的方式展现在世人面前的,因此没有人能够准确知道他到底是如何想到这些概念和证明的,先后顺序是怎么样的,思维总体上是怎样贯穿的?以下只是我个人的猜测。

    (1)伽罗瓦可能首先从“域”的角度出发,思考了域的扩张。

    我们知道,有理数域Q是最小的数域,实数R、复数C也都构成一个数域,那么是否存在数域,范围大于有理数Q但是小于实数R、或者大于R小于C呢?甚至是否存在数域,其范围大于Q小于C,同时又不完全包含或者包含于R呢?这要从最小数域的扩张开始,域的扩张称为扩域。

    扩域:把某个域F中添加进一个或几个不属于这个域的元素,在不改变原来域的“加法”和“乘法”的条件下,按照域的定义形成的新域E被称为原来域的扩域,记为E/F。
    比如,我们在有理数域Q上添加一个无理数√2,形成一个新的数域Q(√2),则Q(√2)/Q就是Q上的一个扩域。由域的定义知道,这个形成的新域不只是包含√2,还包含着任何通过有理数与√2进行加法和乘法得到的数。其实,除了加法和乘法,域里面还有着逆元,加法的逆元运算对应着减法,乘法的逆元运算对应着除法。也就是说,表面上域定义了加法和乘法,实质上确定了加减乘除四则运算。域是更高层次上抽象出来的结构,但是落实到我们日常的数字和运算上,与小学就开始学习的四则运算没有什么不同。

    可以证明,任何可以表示为a+b√2(a,b∈Q)的数都属于Q(√2)这个域,而这个域里面的任何数也都可以表示成为a+b√2(a,b∈Q)的形式。显然,这个Q(√2)就是一个范围大于Q但是小于R的数域。有了扩域这个工具,我们可以构造出无穷多个数域。

    (2)之后伽罗瓦考虑的应该是如何定义方程的根式可解

    因为在伽罗瓦从事数学研究的那5年,人们已经在开始猜测一般的一元五次方程不可根式求解。可是,到底什么是根式求解?字面意思很容易理解,就是一个一元高次方程的解如果可以使用方程的系数经过加减乘除和开方以及它们的组合运算表达出来,就是可以根式求解的;如果不能以这种方式表达,那就是不可以根式求解的。可这样的定义虽然从语言和表达的角度来说没有歧义,但是从数学的角度来说,还不够清晰。

    伽罗瓦通过自己的深入思考,给出了根式可解的更优美的定义。在了解这个优美定义之前,需要思考以下一些毫无疑问是正确的结论:

    • 一个数域里面的任何数,都可以通过这个数域中的其它数的加减乘除运算组合表达出来;
    • 除了个别特殊情况外,一般来讲,数域中某个数的开方运算的结果是不属于这个数域的(类似于√2∉Q);
    • 把数域中某个数开方运算的结果扩张进来成为一个扩域后,扩域中的数都可以使用原来数域中的数和这个开方运算的结果的加减乘除运算组合来表达,或者说这种扩域中的数一定可以使用原来数域之内的数的加减乘除和开方运算进行根式表达;

    明白了上面这3条结论,就可以知道,能否根式表达与上面说的这种把数域中某个数的开方运算的结果扩张进来形成的扩域有着密切关系。我们把这种扩域定义为纯扩域。

    纯扩域:B/F为扩域,B=F(d),d∈B,dm∈F,此时把B称为F的m型纯扩域。
    显然,所谓m型纯扩域就是在域F中找一个数开m次方,然后把开方结果扩进来形成的扩域。可别小看这个纯扩域,根据前面的分析,纯扩域B中的任何数都可以通过域F中的数的加减乘除和开m次方运算得到。如果继续这样扩域下去,把F扩为F1,把F1扩为F2,…,无论多少次这种扩域,只要是有限次,最终的扩域Fn中的数都可以由域F中的数经过加减乘除和开方运算得到。由此,引出一个新概念,根式塔。

    根式塔:不断扩域形成的域列,F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1,如果每个扩域Fi+1/Fi(i=1,2, …,r)都是一个纯扩域,则称此域列为一个根式塔。

    于是,数域F中的数通过加减乘除和开方运算所能得到的数,一定包括在某个根式塔的Fr+1之中。由此,伽罗瓦给出了根式可解的更清晰优美的定义。

    根式可解:设一元多次方程f(x)的全部系数都包含在域F之内,此方程的全部根都包含在域E之内,且E是包含f(x)全部根的最小域(此时称E为F上多项式f(x)的根域),如果存在根式塔F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1,且E⊆ Fr+1,称域F上的方程f(x)根式可解。

    看到伽罗瓦给出的根式可解定义,我有一种感觉,也许伽罗瓦的脑子天生就是结构化的,他可以直接在一个大的范畴上进行思考和逻辑推导。本来通过语言描述的根式可解是一种模模糊糊的东西,但是经过伽罗瓦重新定义的根式可解变得清晰明确,有数学实体可以抓了。

    三、“神来之笔”——域的自同构、伽罗瓦群与伽罗瓦对应
    伽罗瓦的故事
    伽罗瓦的葬礼因政治原因而变得混乱,政府认为伽罗瓦的葬礼将会造成一次政治集会,为了维护稳定,政府在葬礼之前的晚上逮捕了30名伽罗瓦的同志。尽管如此,还是有两千多个共和主义者参加了葬礼,从而与政府人员之间爆发了一场混战。这之后,不断有人怀疑伽罗瓦与斯特凡妮的风流韵事是一个阴谋,用来害死伽罗瓦的阴谋。直到今天,伽罗瓦到底是死于愚蠢的爱情还是政治阴谋仍然没有定论。但无论是哪种原因,这位研究数学才5年但是却被认为是最伟大的数学家之一的天才,在21岁的时候就离开了人世。这对数学界来说是一个重大的损失,只不过当时的人们还完全认识不到。

    伽罗瓦之墓(图片来源:Beachboy68/CC-BY-SA 3.0)

    伽罗瓦虽然在决斗的前夜把他的数学思想写了出来,但是这种潦草的内容、跳跃的思维并不是立刻就被数学界所理解的。虽然伽罗瓦的兄弟和朋友把他写下的数学思想重新整理了一遍,并分送给了高斯、雅可比等人,但是伽罗瓦的伟大研究成果仍然没有得到理解和承认。直到14年后,法国数学家约瑟夫·刘维尔(Joseph Liouville)重新整理并发表了伽罗瓦的著作,才使得伽罗瓦理论逐渐被世人所理解。

    刘维尔本人也是一位著名的数学家,一生从事数学、力学和天文学的研究,涉足广泛,成果丰富,尤其对双周期椭圆函数、微分方程边值问题和数论中的超越数问题有深入研究。他是第一个证实超越数存在的人。

    即使是这样一位著名数学家,仍然从1843年到1846年用了3年的时间来彻底研究伽罗瓦的理论,终于在1846年比较全面的理解了伽罗瓦的成就并发表出来。刘维尔虽然在数学领域有不小的贡献,但很可能他整理、理解并发表伽罗瓦理论是他在数学领域最大的贡献。代数学能够取得今天的成就,刘维尔功劳不小。

    刘维尔在反思为什么伽罗瓦的理论在很长一段时间内不能得到理解的原因时,写下了这样一段话:

    过分地追求简洁是导致这一缺憾的原因。人们在处理像纯粹代数这样抽象和神秘的事物时,应该首先尽力避免这样做。事实上,当你试图引导读者远离习以为常的思路进入较为困惑的领域时,清晰性是绝对必需的,就像笛卡尔说过的那样:“在讨论超前的问题时务必空前地清晰。”伽罗瓦太不把这条箴言放在心上,……

    伽罗瓦再也回不来了!我们不要再过分地作无用的批评,让我们把缺憾抛开,找一找有价值的东西……

    我的热心得到了好报。在填补了一些细小的缺陷后,我看出了伽罗瓦用来证明这个美妙的定理的方法是完全正确的,在那个瞬间,我体验到一种强烈的愉悦。

    真心希望大家了解了伽罗瓦理论之后,能够像刘维尔一样有一种“强烈的愉悦感”。伽罗瓦的故事讲完了,伽罗瓦那天才的思想还需要继续。

    伽罗瓦理论
    从前面的介绍我们知道,根式可解需要找到一个根式塔,根式塔是一个域列。只知道这些,我们还是解决不了方程是否能够根式求解的问题,因为我们仍然不知道怎样判断是否存在这种根式塔?

    伽罗瓦在思考这个问题的时候,发现或者说找到了一种对应关系——伽罗瓦对应。应该讲,这种对应关系是人类思维领域的“神来之笔”。我无法想象伽罗瓦到底是通过怎样的思考发现了这种对应关系,对我自己来说,能够较快理解伽罗瓦对应就已经谢天谢地了。

    伽罗瓦对应的发现应该是从域的自同构映射开始的。

    域的自同构映射:前面我们介绍了域的同构,知道了两个域同构意味着两个域之间存在着满足同构关系的映射。显然一个域一定是和自己同构的,我们把某个域E到自身的同构映射叫做自同构映射。事实上,这种自同构映射未必只有一个,我们把全部自同构映射组成的集合记为Aut(E)。

    现在开始,我们的思维要在理解群、域的基础上再上一个台阶,开始思考域的自同构映射组成的集合了。记住,Aut(E)中的元素是E→E集合间的映射。

    下面再做一个稍复杂点的思维体操,定义Aut(E)上两个元素σ1和σ2之间的“乘法”为σ1*σ2(a)=σ1(σ2(a)),证明Aut(E)在这个“乘法”下构成群。

    <1> 构成群首先要满足封闭性,也就是对于σ1∈Aut(E)和σ2∈Aut(E),要证明σ1*σ2∈Aut(E)。证明如下:

    请记住,Aut(E)中的σ都是自同构映射,必然满足σ(a+b)=σ(a)+σ(b),σ(a*b)=σ(a)*σ(b)。由此,我们可以得到
    σ1*σ2(a+b)=σ1(σ2(a+b))=σ1(σ2(a)+σ2(b))=σ1(σ2(a))+σ1(σ2(b))=σ1*σ2(a)+σ1*σ2(b)
    σ1*σ2(a*b)=σ1(σ2(a*b))=σ1(σ2(a)*σ2(b))=σ1(σ2(a))*σ1(σ2(b))=σ1*σ2(a)*σ1*σ2(b)
    也即σ1*σ2也满足自同构映射的条件,于是σ1*σ2∈Aut(E)。封闭性得到了满足。

    <2> 结合律:
    (σ1*σ2)*σ3(a)=(σ1*σ2)(σ3(a))=(σ1(σ2(σ3(a)))=σ1*(σ2*σ3)(a)
    也就是(σ1*σ2)*σ3=σ1*(σ2*σ3),满足结合律。

    <3> 单位元:显然对于E→E上的恒等映射σe,满足σe(a)=a,∀a∈E,容易验证σe即为Aut(E)的单位元。

    <4> 逆元:∀σ∈Aut(E),a∈E且a≠0,有
    σ(0)=σ(a-a)=σ(a)-σ(a)=0;
    σ(a)=σ(1*a)=σ(1)*σ(a)⇒σ(1)=1;
    σ(1)=σ(a*a-1)=σ(a)*σ(a-1)=1⇒σ(a)≠0;即a≠0时σ(a)≠0。

    于是得到,a≠b时,σ(a-b)=σ(a)-σ(b)≠0⇒σ(a)≠σ(b)。这说明σ是单射,单射必有逆映射,令其逆映射为σ-1,则必有σ*σ-1(a)=σ(σ-1(a))=a⇒σ*σ-1=σe,确定逆元必然存在。

    综上,Aut(E)在上述“乘法”定义下构成群。

    对群、域不熟悉的人来说,也许这个思维体操稍微有些“绕”,但是对于熟悉的人来说,这个关系是一眼就可以看出来的。我想,如果一个不熟悉的人把上述并不复杂的推导看明白后,也会感觉到愉悦的。

    当然,我相信对于伽罗瓦来说,上述结论是瞬间就想到了的。不仅如此,伽罗瓦还进一步找到了群Aut(E)的一类子群——我们今天称之为伽罗瓦群。

    伽罗瓦群:E/F是扩域,且E是系数在F内的某个多项式方程的根域(根域参见前面的说明,以后会将这种根域叫做F的正规扩域),E上全部自同构映射的集合Aut(E)中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut(E)的一个子群,称为E在F上的伽罗瓦群,记为G(E/F)。

    概念越来越复杂了,解释一下,就是Aut(E)中的自同构映射,有一部分是在F上的恒等映射,也就是说F中的元素在这些映射的作用下是不变的,这类映射的全体组成的集合也构成一个群,是Aut(E)的子群,叫做E在F上的伽罗瓦群。

    有人会问,为什么要搞出个伽罗瓦群的概念呢?下面就是见证奇迹的时刻了:

    设f(x)∈F (意思是f(x)的系数都在F内),则对于任意σ∈G(E/F),必然有σ(f(x))=f(x),这是因为σ作用在F上是恒等映射;同时,设方程f(x)=0有n个根,分别是a1、a2、…、an,那么f(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an),于是σ(f(x))=(x-σ(a1))(x-σ(a2))…(x-σ(an))=f(x)= (x-a1)(x-a2)…(x-an)。这说明σ(a1)、σ(a2)、…、σ(an)只是a1、a2、…、an的一组置换(意思是,还是这n个数,只是位置发生了变化,如σ(a1)= a2、σ(a2)=a1之类的变换)!

    看到了么,伽罗瓦群中的每个映射都对应着方程根的一组置换!要知道,从500年前的费尔洛解出了一般一元三次方程,到400年前的塔尔塔利亚、卡丹、费拉里解出一元四次方程,一直到200年前的拉格朗日创造出了方程的预解式,高斯得到了高斯定理,都是在大量的计算推导中,模模糊糊的察觉到方程的解与根的置换似乎有关系。直到伽罗瓦横空出世,清晰地告诉世人,一元高次方程是否可以根式求解的奥秘,就藏在这些根的置换当中。

    当然,只知道宝藏的位置还不够,还需要有打开宝藏的钥匙。天才的伽罗瓦找到了这把钥匙,我把它称为“神来之笔”——伽罗瓦对应。

    记得讨论根式可解的时候,我们说需要找到一个根式塔,根式塔是一个域列。假设存在一个域列F=F1⊆F2⊆F3⊆…⊆Fr+1=E(注意,这个域列不要求一定是根式塔),且E/F是正规扩域(参见上面描述),则可以证明任意E/Fi,i=1, …,r,也是正规扩域。于是存在一组伽罗瓦群G(E/Fi),这组伽罗瓦群都是G(E/F)的子群,而且可以证明每个G(E/F)的子群一定对应着一个E的子域,这种对应是一一对应,这个神奇的对应被称做伽罗瓦对应。

    通过伽罗瓦对应,我们把对复杂的域列问题的研究转换到了对伽罗瓦群的子群列的研究上,这就是打开方程根式可解的金钥匙。

    伽罗瓦那不到20岁的头脑中,可能就已经想通了这些问题。当我想到这一点的时候,心中对伽罗瓦的钦佩感无以复加。就像有人评论,欧拉作为数学史上最伟大的数学家之一,他对数学贡献的丰富程度可能远超伽罗瓦,但是如果考虑到欧拉专心研究数学60年,而伽罗瓦仅仅是残缺不全的5年,那么从天赋上讲,大数学家欧拉完败于伽罗瓦。

    四、美妙结论——正规子群、可解群、正规扩域
    继续深入写下去所涉及到的数学知识、逻辑复杂度都大大地提升了。考虑到这篇文章的目的是寄希望于数学爱好者之外的人也能尽量理解,就不再深入描述后面的理论了。我承诺大家,从现在开始,不再使用任何数学符号了。

    前面说了,E是每个Fi的正规扩域,但是相邻Fi之间却不一定是正规扩域。要知道,纯扩域必然是正规扩域,域列想成为根式塔,或者说相邻域都是纯扩域,就必然要求相邻Fi之间都是正规扩域。伽罗瓦证明了,相邻Fi之间都是正规扩域等价于对应的相邻伽罗瓦群是正规子群。

    正规子群意味着商集合成群,或者说相邻伽罗瓦群的商群存在,如果这个商群是可换群(群内的“乘法”满足交换律),那么这样的伽罗瓦群被称为可解群。

    通过进一步复杂的证明可以得到,域F上的方程f(x)的根域为E,如果伽罗瓦群G(E/F)是可解群,那么f(x)可根式求解;如果f(x)可根式求解,则伽罗瓦群G(E/F)必为可解群。即方程的根式可解等价于方程的伽罗瓦群为可解群!

    从此,困扰了人们数百年之久的多项式方程根式可解问题被伽罗瓦漂亮而彻底地解决了,以他名字命名的伽罗瓦理论从此诞生。在解决这个问题的过程中,群论、域论交相辉映,迂回曲折,难怪当时的那些审评大师们如堕五里雾中。“就伽罗瓦的概念和思想的独创性和深刻性而言,任何人都是不能与之相比的。”法国数学家毕卡(C..Picard, 1856-1941)在1879年评述19世纪数学成就时如是说。

    再回想本文开篇引用的伽罗瓦自己所写的话“跳出计算,群化运算,按照它们的复杂度而不是表象来分类——我相信,这是未来数学的任务,这也正是我的工作所揭示出来的道路。”,相信每个了解了伽罗瓦理论的人都会有更深刻的认识。

    总结一下伽罗瓦的思想:一是在更高的层次上看待数和计算,形成了群、域的概念;二是通过域和扩域的方法给出了方程根式可解的更准确的数学定义;三是发现了域的某类自同构映射对应着方程根的置换,找到了方程根式可解的奥秘;四是找到了“伽罗瓦对应”这把打开奥秘大门的钥匙,把域列和群列优美地对应了起来;五是基于深刻的逻辑推导形成了可解群的概念,并证明了根式可解与伽罗瓦群是可解群的等价关系。

    伽罗瓦给朋友写的信的最后一页(图片来源:公有领域)

    伽罗瓦理论是一个非常“好”的数学成果,它不是仅仅解决了多项式方程根式求解的问题,它还是一个非常有价值的数学工具,伽罗瓦理论的思想开创了代数学从研究“计算”到研究“结构”的先河,打开了现代代数学研究的大门。遗憾的是,200年后的今天,在网上查找抽象代数的相关知识时,中文的内容还是非常少。很多国人对数学的观念还停留在速算、数独、找规律甚至是脑筋急转弯的层面。这种状况可能还比不上200年前的法国。

    真心希望国人能够对数学之美有着更准确的认识和欣赏能力,起码能理解200年前数学研究前沿达到的高度吧。

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